Histoire des nombres complexes

Entre algèbre et géométrie

L’ouvrage a plusieurs objectifs. Non seulement il veut être une histoire des nombres complexes, de l’apparition des quantités impossibles à l’établissement d’une théorie bien fondée des nombres complexes, mais il veut aussi particulièrement témoigner de grandes transformations et même de véritables mutations qu’ont connues les mathématiques du xve siècle jusqu’au premier xixe siècle. L’ouvrage s’inscrit de ce fait dans une tradition historique où le concept occupe la place centrale. Un dépaysement s’impose : celui de penser les mathématiques telles qu’elles étaient à l’époque où des innovateurs eurent à combattre des idées reçues, à imposer des entités diversement désignées, du sophistique à l’imaginaire, puis au complexe, auxquels s’ajoutaient les questions difficiles et vivement discutées des différences essentielles entre nombre, quantité et grandeur, entre nombre et signe. Ce mouvement de pensée, qui tend à substituer les hardiesses de l’abstraction aux précautions antérieures prises pour se référer au concret, est au cœur de l’analyse. On observe ainsi comment et pourquoi s’établirent des rapports entre algèbre et géométrie, tantôt voulus, tantôt décriés, à l’origine de situations conflictuelles qui contribueront à faire des vérités premières que furent les axiomes les hypothèses de construction que nous connaissons aujourd’hui, à faire de la réalisation géométrique de la quantité imaginaire ou impossible une représentation géométrique du nombre complexe, ouvrant ainsi la voie à la création de nouveaux calculs.

Introduction

L’éventail des problèmes posés par les nombres complexes, tant pour l’histoire moderne de l’essor européen que pour celle des mathématiques, est extrêmement large. J’ai essayé de le considérer en son entier mais en prenant conscience que si cette vue globale était indispensable pour situer entre eux les différents acquis déjà publiés, elle était cependant d’une bien trop grande ampleur pour m’éviter de faire un choix.

Les domaines concernés vont de l’histoire politique à celui de la formalisation logique et en traversent bien d’autres, par exemple, d’ordre métaphysique ou linguistique. Il m’est alors apparu que ma contribution pourrait avoir un intérêt particulier à deux conditions utiliser ma propre formation acquise auprès de mathématiciens actuels, tout en procédant aussi au dépaysement nécessaire pour penser les mathématiques telles qu’elles l’étaient à l’époque où des innovateurs eurent à combattre des idées reçues pour substituer les unes aux autres des notions successives telles que nombres sophistiques ou absurdes, nombres impossibles, nombres imaginaires, nombres complexes puis hypercomplexes. Encore, en employant d’emblée ici le mot nombre, sont omises des difficultés et des discussions portant sur la différence entre nombre et quantité, et entre nombre et signe. La nécessité d’explorer pas à pas ces successives convergences et divergences d’opinion m’amena à me reporter à des textes originaux en constatant que les évocations qu’on en avait faites jusqu’à présent (et qu’on pourra encore en faire dans l’avenir) laissaient une grande part à l’ambiguïté et au sous-entendu. Les éclaircissements que mon ouvrage voulait apporter exigeaient un effort tel qu’il m’a fallu renoncer à un projet initial plus ambitieux : celui de rapporter l’histoire des nombres complexes à celle des représentations du monde propo-sées au cours des quatre derniers siècles par une économie sociale en perpétuel changement.

Dans les limites qui m’ont été ainsi prescrites, j’ai montré en différentes occasions les voies qu’il conviendrait d’explorer pour situer effectivement les nombres complexes dans l’histoire générale des concepts de l’existence qu’ont eues les entrepreneurs, praticiens ou philosophes de la période considérée. À cet égard, une des difficultés majeures que j’ai tenté de circonscrire sans prétendre la résoudre concerne précisément la différence entre l’imaginaire et le réel ; différence qui elle-même varie fortement selon les conceptions que l’on a pu se faire, et que l’on peut encore se faire, de la réalité et de ses représentations. Pour me tirer d’affaire, j’ai entendu me tenir aussi près que possible des textes écrits par les savants eux-mêmes et d’en considérer le style : style tant de leurs procédés d’innovation que de leurs procédés d’exposition. Aussi ai-je été conduit à faire de nombreuses citations afin de mieux souligner comment écrivaient et raisonnaient les mathématiciens d’alors. Bien souvent, les études historiques s’attachent pour de multiples raisons, pas toujours très pertinentes, à traduire les écritures symboliques proposées par les auteurs, nuisant de la sorte à une profonde compréhension des textes étudiés. Outre leur intérêt historique et pédagogique, de telles citations permettent une possible confrontation entre ce que le lecteur perçoit et ce que le commentateur en déduit ; le débat résultant éventuellement de cette confrontation peut susciter à son tour des recherches plus approfondies.

Il existe au moins autant de styles mathématiques (et peut-être même davantage) qu’il existe de mathématiciens. Cette marge s’agrandit encore quand il faut prendre en compte nombre d’auteurs non mathématiciens eux-mêmes mais ayant contribué à inspirer des découvertes s’y référant expressément. II est impossible de traiter de la même manière des documents de sources et d’inspirations si différentes. Et la manière convenant à chaque cas dépend non moins des connaissances que l’on peut avoir des auteurs en cause. C’est ainsi que, à titre d’exemple, pour comprendre Hamilton, on a la chance de disposer d’une abondante correspondance publiée par R. P. Graves, alors que Gauss demeure hermétique en dépit des nombreux documents conservés et qu’on ne sait presque rien de ce que pensait Bombelli, en dehors de rares textes spécifiques qui nous sont parvenus.

Les chapitres qui suivent s’efforcent d’analyser dans toute sa technicité cas par cas et étape par étape un mouvement de pensée déjà assez connu sous sa forme générale mais dont pourtant bien des nuances restaient et restent encore à explorer. Ce mouvement général tend à substituer (et le fait avec succès) les hardiesses de l’abstraction à des précautions antérieures prises pour se référer au concret. À titre d’exemple et bien qu’il s’agisse là d’une situation déjà très développée, considérons une expression simple telle que ab = c : elle peut être lue de telle sorte que d’une longueur multipliée par une largeur résulte une surface (on donnera alors une forme spéciale à ce que l’expression a représenté par un c). On peut aussi la lire comme si c représente lui-même une longueur (dans ce cas les trois lettres pourront être indifféremment empruntées à l’alphabet). Enfin, on peut également la considérer comme si a, b, c ne renvoyaient pas à une ou des dimensions de l’espace mais étaient seulement des symboles convenant à généraliser une opération quelle que soit la nature des objets auxquels elle se rapporte. Cette évolution transformatrice conduira, du xvi eau xixe siècle, de l’algèbre syncopée aux algèbres modernes : la première utilise le langage autrement que le non-spécialiste mais tout en y conservant quelque chose qui soif évocateur pour le sens commun ; les dernières utiliseront encore mots et lettres mais en fonction d’emplois définis par des systèmes ou pur des théories n’ayant de signification qu’intrinsèque.

Au cours d’une telle évolution, on observera aussi comment et pourquoi iront en s’établissant des rapports voire des liens. tantôt voulus tantôt décriés, entre algèbre et géométrie ; autant de situations conflictuelles qui contribueront à faire des vérités premières que furent les axiomes les hypothèses de construction que nous connaissons aujourd’hui.

Signalons d’emblée l’état dans lequel se trouve l’historien des mathématiques : d’une part il pense en mathématicien et se doit d’oublier les manières de penser et d’écrire de prédécesseurs trop anciens ; d’autre part il doit penser en historien et alors il doit faire valoir l’importance de ce qu’il a dû oublier en tant que mathématicien. Or cet état a été vécu bien plus profondément encore. et sans doute parfois non sans anxiété, par les innovateurs ayant reçu une formation de prédécesseurs auxquels ils doivent presque tout et qu’ils sont pourtant conduits à remettre en question, parfois même a affronter. afin d’en poursuivre l’effort. Peut-être la force de caractère nécessaire pour surmonter de tels risque, et pour être infidèle à des maîtres tout en poursuivant la voie qu’ils avaient ouverte est-elle, autant que la compétence proprement technique, une composante essentielle du génie créateur en mathématique. L’expérience des écoles le montre, et plusieurs philosophes contemporains le suggèrent à leur manière : apprendre d’emblée un formalisme nouveau permet de progresser d’autant plus vile qu’une génération nouvelle s’est substituée à une autre encore encombrée du passé. Mais ce que l’étudiant apprend à l’école lui est proposé comme " tout fait ", alors qu’il a été vécu comme un " drame " par ceux qui ont dû l’inventer. Les pages à venir évoqueront parfois cette longue et diverse suite de "drames" vécus ; elles ne pourront le faire que brièvement bien que nombre d’entre elles se réfèrent à ce que l’historien des mathématiques Bell appelait une " tragédie" en parlant de Hamilton, ou Dieudonné en parlant de Grassmann. De telles" tragédies " ne sont que répétitives. Chacune d’elles a un caractère propre reflétant un milieu familial, social ou culturel. Peut-être celle simple réflexion ainsi proposée permet-elle d’expliquer notamment l’immense variété de compétences et d’audaces qu’il a fallu aux mathématiciens ayant franchi le cap entre l’imaginaire et le complexe. Croyants ou non-croyants, reconnus ou méconnus, ils étaient aux frontières séparant plusieurs univers de pensée et souvent plusieurs univers de langage quand on constate, par exemple, que par leurs études et leurs connaissances un Gauss ou un Hamilton eussent pu être aussi bien de prodigieux linguistes qu’ils ont été des innovateurs de symbolismes abstraits.

En parlant ainsi de " génies " je ne me réfère pas uniquement à ceux auxquels on attribue ordinairement ce titre (tout en méconnais-sant trop souvent une part de ce qui fut pour eux le plus vital), mais aussi à des auteurs plus ou moins obscurs ayant joué un rôle irremplaçable tant comme produits de sociétés en changement que comme producteurs d’idées nouvelles.

Il va de soi que l’étude historique des mathématiques ne peut être seulement récurrente. Faire sienne une telle approche conduit au témoignage fallacieux d’une histoire confortable pour l’esprit ; une histoire qui écarte les faux pas et les errements et rejette en les taxant d’erronés des résultats qui souvent se révélèrent après coup d’une incontestable fécondité.

Tout en ayant conscience du " milieu " dans lequel font leur apparition les concepts nouveaux, l’historien se doit de faire taire ses a priori et ce qu’il sait des mathématiques quand il lui faut reconstituer les démarches hésitantes et maladroites de ceux qui eurent à surmonter l’adversité pour remettre en cause des acquis, considérés autour d’eux comme incontestables et vrais. Sans doute moins agréable et plus ingrate, une telle histoire se révèle cependant la plus à même d’éclairer les mathématiques d’hier et de faire comprendre celles d’aujourd’hui.

- 31 mai 2006
 
 

 

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